Fagligt opdateret: .
En stokastisk variabel tildeler et tal til hvert muligt udfald i et tilfældigt forsøg. Før forsøget er værdien usikker. Efter forsøget har variablen fået en bestemt værdi.
Fra møntkast til en variabel
Kast en fair mønt to gange, uafhængigt. Lad X være antallet af kroner. Udfaldene KK, KP, PK og PP giver henholdsvis X = 2, 1, 1 og 0. To forskellige udfald kan altså give samme værdi af X.
| x | P(X = x) |
|---|---|
| 0 | 1/4 |
| 1 | 1/2 |
| 2 | 1/4 |
Sandsynlighederne er ikke-negative og summerer til 1. Bemærk, at de tre værdier 0, 1 og 2 ikke er lige sandsynlige.
Diskret eller kontinuert?
En diskret variabel har en endelig eller tælleligt uendelig samling mulige værdier. Antal kroner i to kast er endeligt. Antal kast indtil første krone kan i teorien være 1, 2, 3 og så videre uden en øvre grænse.
En kontinuert variabel modellerer for eksempel tid eller længde over et interval. Sandsynligheder beskrives som arealer under en tæthedskurve. I en kontinuert model er sandsynligheden for én præcis værdi 0; sandsynligheder for intervaller kan være positive.
Forventningsværdi: det teoretiske gennemsnit
E(X) = Σ x · P(X = x)
For mønterne bliver det 0 · 1/4 + 1 · 1/2 + 2 · 1/4 = 1. Forventningsværdien er et vægtet gennemsnit over fordelingen, ikke et løfte om resultatet i næste forsøg. Den behøver heller ikke være en mulig værdi: En fair ternings forventede øjental er 3,5.
Varians og standardafvigelse
Variansen er Var(X) = E((X − E(X))²). I mønteksemplet bliver den (0 − 1)² · 1/4 + (1 − 1)² · 1/2 + (2 − 1)² · 1/4 = 0,5. Standardafvigelsen er √0,5 ≈ 0,7071.
At lægge til og gange med en konstant
Hvis Y = 3X + 2, er E(Y) = 3E(X) + 2 = 5. Variansen bliver 3²Var(X) = 4,5. Det konstante tillæg flytter alle værdier, men ændrer ikke spredningen. Multiplikation med 3 gør standardafvigelsen tre gange så stor.
Vælg en fordeling, der passer til forsøget
Antal succeser i et fast antal uafhængige forsøg kan være binomialfordelt, når succes-sandsynligheden er konstant. En kontinuert måling kan i nogle situationer modelleres med en normalfordeling. Fordelingen følger af antagelserne; den vælges ikke bare, fordi en formel er nem at bruge.
Prøv selv
- Lad X være 1 ved krone og 0 ved plat på en fair mønt. Find E(X).
- Kan en diskret stokastisk variabel have uendeligt mange mulige værdier?
- Hvad er Var(2X), hvis Var(X) = 3?
Vis facit og forklaringer
1. 0,5.
2. Ja, hvis værdierne er tællelige.
3. 2² · 3 = 12.
Fagligt grundlag: OpenStax: diskrete stokastiske variable, OpenStax: udfald og sandsynlighed. Regneeksempler og figurer er udarbejdet til denne guide.