Fagligt opdateret: .
Kombinatorik handler om at tælle muligheder systematisk. Spørg først, om rækkefølgen betyder noget, og om det samme element må vælges flere gange. De to spørgsmål afgør formlen.
Multiplikationsprincippet
Du kan vælge mellem 3 trøjer og 2 bukser. Hver trøje kan kombineres med hvert par bukser, så der er 3 · 2 = 6 outfits. Princippet virker, når hvert valg fører videre til det angivne antal muligheder.
| Situation | Gentagelse | Formel | n = 5, r = 2 |
|---|---|---|---|
| Rækkefølge betyder noget | Nej | n! / (n−r)! | 20 |
| Rækkefølge betyder noget | Ja | nʳ | 25 |
| Rækkefølge betyder ikke noget | Nej | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | 10 |
| Rækkefølge betyder ikke noget | Ja | C(n+r−1,r) | 15 |
Permutationer: hvem bliver første og anden?
Der er 5 forskellige deltagere. Vinderen kan vælges på 5 måder og andenpladsen på 4, når samme person ikke kan få begge pladser. Derfor er der 5 · 4 = 20 ordnede resultater. A som vinder og B som nummer to er noget andet end B som vinder og A som nummer to.
Kombinationer: vælg et hold
Vælger du 2 personer af de samme 5 til et hold uden roller, er A+B og B+A det samme hold. De 20 ordnede valg tæller hvert hold 2! gange. Derfor får du 20 / 2 = 10 hold.
Hvad betyder fakultet?
5! betyder 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Man definerer 0! = 1, hvilket blandt andet sikrer, at C(n,0) = 1: Der er én måde at vælge ingen elementer på.
Med tilbagelægning og gentagelser
En kode med fire cifre fra 0 til 9 har 10⁴ = 10.000 muligheder, hvis gentagelse og indledende 0 er tilladt. Hvis det i stedet skal være et firecifret helt tal, må det første ciffer ikke være 0; så er der 9 · 10³ = 9.000 muligheder.
Ved valg uden rækkefølge med gentagelse kan C(n+r−1,r) bruges for r valg fra n typer, når alle fordelinger er tilladt. To kugler is fra 5 smage giver eksempelvis C(6,2) = 15 kombinationer, hvis to af samme smag er tilladt og rækkefølgen ignoreres.
Når man vil beregne sandsynligheder
Antallet af gunstige muligheder divideret med antallet af mulige muligheder giver kun sandsynligheden, når udfaldene i den anvendte optælling er lige sandsynlige. En god tælleformel erstatter ikke en sandsynlighedsmodel.
Prøv selv
- Hvor mange hold på 3 kan vælges af 6 personer?
- Hvor mange måder kan 4 forskellige bøger stå på en hylde?
- Hvor mange tocifrede koder fra 0 til 9 uden gentagelse, når 0 gerne må stå først?
Vis facit og forklaringer
1. C(6,3) = 20.
2. 4! = 24.
3. 10 · 9 = 90.
Fagligt grundlag: OpenStax: tælleprincipper. Regneeksempler og figurer er udarbejdet til denne guide.