En lineær funktion har forskriften f(x) = a·x + b. Tallet a er hældningskoefficienten: ændringen i y, når x vokser med 1. Tallet b er værdien f(0), og grafen går gennem (0; b). Grafen er en ret linje, som ikke er lodret.
Kender du to punkter med forskellige x-værdier, finder du a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) og derefter b = y₁ − a·x₁. Prøv beregneren til to punkter, eller følg eksemplet nedenfor.
Hvad betyder a og b i en lineær funktion?
I f(x) = 2x + 3 er a = 2 og b = 3. Bogstavet x er den værdi, du sætter ind, og f(x) er resultatet, som også kan kaldes y. For x = 4 får du f(4) = 2 · 4 + 3 = 11. Du ganger altså først og lægger derefter 3 til.
- a er hældningen. Når x stiger med 1, stiger y her med 2. Ved en ændring Δx = 3 bliver ændringen Δy = 2 · 3 = 6.
- b er skæringen med y-aksen. Sæt x = 0: f(0) = 2 · 0 + 3 = 3. Skæringspunktet er derfor (0; 3).
a er et fast tillæg pr. x-enhed, ikke en fast procent. Er x tid i timer og y en afstand i kilometer, måles a i kilometer pr. time, mens b måles i kilometer. Hældninger på grafer kan kun sammenlignes visuelt, når aksernes skalaer passer sammen.
Voksende, aftagende eller konstant?
Er a positiv, er funktionen voksende. Er a negativ, er den aftagende. Ved a = 0 får du en konstant funktion f(x) = b med en vandret graf; her medtager vi dette specialtilfælde i formen a·x + b. Fx falder f(x) = −2x + 8 med 2, hver gang x øges med 1. b kan være både positiv, negativ og 0, uanset om grafen er voksende eller aftagende.
Sådan tegner du grafen for f(x) = 2x + 3
Du skal kende mindst to forskellige punkter på linjen. Start fx med (0; 3), og brug hældningen til at finde (1; 5). Tegn den rette linje gennem punkterne. Et tredje punkt er en god kontrol: (4; 11) skal ligge på samme linje.
Er du usikker på rækkefølgen af koordinater, kan du begynde med guiden om koordinatsystemer og punkter. På denne side bruger vi semikolon mellem x og y, så decimalkomma ikke kan forveksles med adskillelsen mellem koordinaterne.
Genkend en lineær sammenhæng i en tabel
| x | 0 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| f(x) | 3 | 7 | 13 |
Her er y-forskellene 4 og 6, men x-forskellene er også forskellige: 2 og 3. Hældningen er ens, fordi 4/2 = 6/3 = 2. Du må derfor ikke kun sammenligne y-forskellene, medmindre x-skridtene er lige store. Tabellen passer til en lineær model, men nogle få målepunkter beviser ikke, at et virkeligt fænomen følger modellen overalt.
Find a og b ud fra to punkter
Vi bruger P = (1; 5) og Q = (4; 11). Beregn først ændringen i y og divider med ændringen i x. Hold den samme rækkefølge i tæller og nævner:
1. Find a: a = (11 − 5)/(4 − 1) = 6/3 = 2.
2. Find b: Indsæt P i y = a·x + b: 5 = 2 · 1 + b. Derfor er b = 5 − 2 = 3.
3. Skriv forskriften: f(x) = 2x + 3.
4. Kontrollér begge punkter: f(1) = 5 og f(4) = 11.
Vælger du Q først, bliver a = (5 − 11)/(1 − 4) = (−6)/(−3) = 2. Det giver samme resultat. Fejlen opstår, hvis du kun bytter rækkefølgen i én af de to forskelle.
Hvad hvis x₁ og x₂ er ens?
Så er nævneren 0, og formlen kan ikke bruges. Punkterne (2; 1) og (2; 7) ligger på den lodrette linje x = 2. Den er ikke graf for en funktion y = f(x), fordi samme x her har to y-værdier. Er de to punkter helt ens, har du kun ét punkt, og det bestemmer ikke en unik lineær funktion.
Beregn en lineær funktion fra to punkter
Indtast x og y for hvert punkt. Brug komma eller punktum som decimaltegn, højst 6 decimaler og koordinater mellem −1.000.000 og 1.000.000. Brug ingen tusindtalsseparator.
a, b og et eventuelt nulpunkt vises eksakt som hele tal eller brøker. Decimalvisningen afrundes til højst 8 decimaler og er kun en tilnærmelse; meget små tal kan vises som 0 dér. Beregningen foregår lokalt i din browser.
Hvordan finder man nulpunktet?
Et nulpunkt er en x-værdi, hvor f(x) = 0. Hvis a ≠ 0, løser du 0 = a·x + b og får x = −b/a. For f(x) = −2x + 8 er nulpunktet x = −8/(−2) = 4. Kontrollér: −2 · 4 + 8 = 0. Punktet på grafen er (4; 0); selve nulpunktets x-værdi er 4.
Ved a = 0 skal du ikke dividere med a: f(x) = 5 har intet nulpunkt, mens f(x) = 0 er 0 for alle reelle x. I en praktisk model skal et beregnet nulpunkt også ligge i den tilladte definitionsmængde.
Lineær funktion, proportionalitet eller en anden model?
Hvis b = 0, bliver f(x) = a·x, og grafen går gennem (0; 0). Det kaldes en proportional sammenhæng. Ved f(x) = 2x + 3 er der derimod et tillæg på 3, så en fordobling af x giver ikke generelt en fordobling af f(x).
| Model | Eksempel | Kendetegn |
|---|---|---|
| Lineær | 2x + 3 | Samme tillæg i y for samme tillæg i x |
| Eksponentiel | 3 · 2ˣ | Samme faktor i y for samme tillæg i x |
| Potens | 3x² | Samme faktor i x giver samme faktor i y, her for positive x |
Læs mere om eksponentielle funktioner og potensfunktioner. I specialtilfælde overlapper modeltyperne: 3x er fx både proportional og en potensfunktion med eksponent 1.
Et tænkt priseksempel: startbeløb plus forbrug
Forestil dig leje med et startbeløb på 40 kr. og derefter 15 kr. pr. time. Modellen er P(x) = 15x + 40. Efter 3 timer er prisen 15 · 3 + 40 = 85 kr. Et budget på 100 kr. svarer til x = (100 − 40)/15 = 4 timer, hvis tiden kan afregnes efter denne model.
Selve forskriften kan beregnes for alle reelle x, men negative lejetider giver ikke mening. Hvis udlejningen i eksemplet kun gælder 0–8 timer, er det modellens definitionsmængde. Brug ikke automatisk linjen til at forudsige priser uden for den aftale; det er ekstrapolation.
Typiske fejl
- At bytte a og b: I 4x − 7 er a = 4 og b = −7.
- At tage Δx/Δy: Hældningen er Δy/Δx.
- At tro, at b er y-værdien i et vilkårligt punkt: b er kun f(0); ellers skal du regne y − a·x.
- At aflæse hældning som en procent: a = 2 betyder +2 y-enheder pr. x-enhed, ikke +2 %.
- At stole på en afrundet graf alene: Beregn med de oplyste koordinater, og behold brøker, indtil du eventuelt afrunder svaret.
Prøv selv: seks opgaver med lineære funktioner
- Find a, b og f(3) for f(x) = −4x + 10.
- Find forskriften gennem (−2; 7) og (4; −5).
- Find nulpunktet for f(x) = 3x − 12.
- En linje går gennem (0; 6) og (5; 6). Hvad er forskriften, og har den et nulpunkt?
- Find a og b gennem (0,5; 1,2) og (2,5; 2,2).
- Er f(x) = 7x proportional? Hvad med g(x) = 7x + 1?
Vis facit og mellemregninger
- a = −4, b = 10 og f(3) = −2, fordi −4 · 3 + 10 = −2.
- f(x) = −2x + 3. a = (−5 − 7)/(4 − (−2)) = −12/6 = −2, og b = 7 − (−2) · (−2) = 3.
- x = 4, fordi 3 · 4 − 12 = 0.
- f(x) = 6: a = 0 og b = 6. Der er intet nulpunkt.
- a = 0,5 og b = 0,95. a = (2,2 − 1,2)/(2,5 − 0,5) = 1/2. b = 1,2 − 0,5 · 0,5 = 0,95.
- f er proportional; g er ikke. Kun f har b = 0 og går gennem (0; 0).
Fagligt grundlag: OpenStax, College Algebra 2e: lineære funktioner og hældning samt lineære modeller. OpenStax bruger m for hældningen; her bruger vi a. Tekst, figurer, regneeksempler, opgaver og beregner er udarbejdet til denne guide.