Fagligt opdateret: .
En logaritme fortæller, hvilken eksponent der giver et bestemt tal. logₐ(x) = y betyder præcis det samme som aʸ = x. I de reelle tal kræver det a > 0, a ≠ 1 og x > 0.
Eksempler uden lommeregner
| Logaritme | Samme udsagn som en potens | Svar |
|---|---|---|
| log₂(8) | 2³ = 8 | 3 |
| log₁₀(100) | 10² = 100 | 2 |
| log₁₀(0,01) | 10⁻² = 0,01 | −2 |
| logₐ(1) | a⁰ = 1 | 0 |
log og ln
I mange danske skoleopgaver betyder log(x) 10-talslogaritmen. ln(x) betyder den naturlige logaritme med grundtal e ≈ 2,71828. Software kan bruge andre navnekonventioner; kontrollér, hvilket grundtal funktionen har.
De vigtigste logaritmeregler
| Regel | Betingelser |
|---|---|
| logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y) | x > 0 og y > 0 |
| logₐ(x/y) = logₐ(x) − logₐ(y) | x > 0 og y > 0 |
| logₐ(xᵏ) = k · logₐ(x) | x > 0 |
| logₐ(x) = ln(x)/ln(a) | a > 0, a ≠ 1, x > 0 |
Der findes ikke en tilsvarende regel, der generelt gør log(x + y) til log(x) + log(y). For eksempel er log₁₀(10 + 10) ≈ 1,3010, mens log₁₀(10) + log₁₀(10) = 2.
Løs en eksponentiel ligning
I ligningen 3ˣ = 20 er x den ukendte eksponent. Tag ln på begge sider: x · ln(3) = ln(20). Så er x = ln(20)/ln(3) ≈ 2,7268. Du kan kontrollere ved at sætte svaret tilbage i 3ˣ.
Løs en logaritmeligning og kontrollér domænet
Ligningen log₁₀(x − 2) = 1 kræver x − 2 > 0. Omskriv til x − 2 = 10¹, så x = 12. Løsningen opfylder kravet x > 2. Du skal kontrollere argumentet til hver logaritme, før du accepterer en løsning.
Hvorfor giver logaritmen problemer ved 0?
En positiv eksponentialfunktion aʸ rammer ikke 0. Derfor findes der ingen reel eksponent, som løser aʸ = 0, og logₐ(0) er ikke defineret. For grundtal over 1 går logₐ(x) mod minus uendelig, når x nærmer sig 0 fra højre; det er en grænseadfærd, ikke en værdi ved 0.
Prøv selv
- Find log₂(32).
- Løs 10ˣ = 0,001.
- Løs ln(x) = 0.
Vis facit og forklaringer
1. 5, fordi 2⁵ = 32.
2. x = −3.
3. x = 1, fordi e⁰ = 1.
Fagligt grundlag: OpenStax: eksponentialfunktioner og logaritmer. Regneeksempler og figurer er udarbejdet til denne guide.