Fagligt opdateret: .
Monotoniforhold beskriver, hvor en funktion er voksende, aftagende eller konstant. Man læser altid grafen fra venstre mod højre: Hvad sker der med y, når x bliver større?
Voksende, aftagende og konstant
- Strengt voksende: x₁ < x₂ giver f(x₁) < f(x₂).
- Strengt aftagende: x₁ < x₂ giver f(x₁) > f(x₂).
- Konstant: Funktionsværdien er den samme på hele intervallet.
Nogle bøger bruger ordet voksende i den svagere betydning ikke-aftagende, hvor lighed er tilladt. Her skelner vi ved at skrive “strengt”, når det er vigtigt.
Eksempel uden differentialregning
For f(x) = x² kan du aflæse, at værdierne falder fra venstre frem mod x = 0 og stiger derefter. Funktionen er aftagende på ]−∞; 0] og voksende på [0; ∞[. Minimum er f(0) = 0. Endepunktet kan medtages i begge monotoniintervaller; nogle fortegnsoversigter angiver i stedet de åbne intervaller mellem stationære punkter.
Sådan bruger du den afledte
Er du i tvivl om, hvordan f′(x) findes, forklarer guiden til differentialregning regnereglerne og forskellen på funktionsværdi, ændringshastighed og tangentens hældning.
- Bestem definitionsmængden.
- Find den afledte f′(x).
- Find nulpunkter for f′ og punkter, hvor den ikke er defineret.
- Undersøg fortegnet på hvert relevant interval.
- Oversæt positiv til voksende og negativ til aftagende.
Gennemregnet eksempel: f(x) = x³ − 3x
Den afledte er f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Den er 0 ved x = −1 og x = 1.
| Interval | Fortegn for f′ | Monotoni |
|---|---|---|
| x < −1 | + | Voksende |
| −1 < x < 1 | − | Aftagende |
| x > 1 | + | Voksende |
Ved x = −1 skifter fortegnet fra + til −, så funktionen har et lokalt maksimum med værdi f(−1) = 2. Ved x = 1 skifter det fra − til +, så der er lokalt minimum med værdi f(1) = −2.
Når den afledte er et andengradspolynomium, kan du finde dens nulpunkter med andengradsligninger og diskriminanten. Kontrollér derefter fortegnet på begge sider af hvert punkt; en løsning til f′(x) = 0 er ikke alene bevis for et ekstremum.
f′(x) = 0 giver ikke altid et ekstremum
For f(x) = x³ er f′(0) = 0, men den afledte skifter ikke fortegn. Funktionen er fortsat strengt voksende gennem 0. Et stationært punkt er derfor ikke i sig selv bevis for maksimum, minimum eller et konstant interval.
Definitionsmængden kan dele analysen op
Funktionen 1/x er ikke defineret ved 0. Du skal undersøge den på hver side af 0 og må ikke lade et monotoniinterval løbe gennem et punkt, der ikke tilhører definitionsmængden.
Prøv selv
- Er f(x) = 2x + 3 voksende eller aftagende?
- Hvor har f(x) = −x² maksimum?
- Er en positiv funktionsværdi det samme som positiv afledt?
Vis facit og forklaringer
1. Voksende, fordi hældningen er 2.
2. Ved x = 0, hvor værdien er 0.
3. Nej; værdien beskriver højden, den afledte beskriver ændringen.
Fagligt grundlag: OpenStax: voksende og aftagende funktioner. Regneeksempler og figurer er udarbejdet til denne guide.