Standardafvigelsen måler spredningen omkring gennemsnittet. Den beregnes som kvadratroden af variansen og har samme enhed som observationerne. Du skal vælge, om nævneren er n eller n − 1.
To grupper kan have samme gennemsnit
For A er populationsstandardafvigelsen √(2/3) ≈ 0,8165. For B er den √(32/3) ≈ 3,2660. Gennemsnittet fortæller, hvor centrum ligger; standardafvigelsen hjælper med at beskrive, hvor meget værdierne varierer omkring det.
Eksempel: beregn standardafvigelsen i hånden
Vi bruger 2; 4; 4; 6. Gennemsnittet er (2 + 4 + 4 + 6) / 4 = 4. Find derefter hver afvigelse fra 4, og kvadrér afvigelserne:
| Observation x | Afvigelse x − 4 | Kvadreret afvigelse |
|---|---|---|
| 2 | −2 | 4 |
| 4 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 4 |
| I alt | 0 | 8 |
Afvigelserne summerer til 0. Derfor giver det ikke et nyttigt spredningsmål blot at lægge dem sammen. Kvadreringen gør, at positive og negative afvigelser begge bidrager.
Population eller korrigeret stikprøve?
Population: σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / n)
Korrigeret stikprøve: s = √(Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1))
Behandles de fire observationer som hele populationen, er variansen 8 / 4 = 2 og standardafvigelsen √2 ≈ 1,4142. Bruges de som en stikprøve til den sædvanlige korrigerede beregning, er variansen 8 / 3 og standardafvigelsen √(8/3) ≈ 1,6330.
Nogle undervisningsopgaver bruger n til en rent beskrivende spredning af et observeret datasæt. Følg den valgte definition og skriv nævneren. n − 1-korrektionen giver under de sædvanlige antagelser et forventningsret estimat af variansen; den gør ikke automatisk standardafvigelsen selv forventningsret. Beregningen med n − 1 kræver mindst to observationer.
Sådan fortolker du resultatet
Hvis observationerne er centimeter, måles standardafvigelsen i centimeter og variansen i cm². Standardafvigelsen er ikke den gennemsnitlige absolutte afstand til gennemsnittet; her bruges kvadrerede afvigelser og en kvadratrod.
0 betyder, at alle observationer er ens. En større standardafvigelse betyder større spredning omkring gennemsnittet, men der findes ikke én universel grænse for, hvad der er “højt”. Sammenlign målinger med samme enhed og relevant skala. Ekstreme observationer kan påvirke resultatet kraftigt.
Gælder 68 %-reglen altid?
Nej. For en normalfordeling ligger cirka 68 % af sandsynlighedsmassen inden for én standardafvigelse fra middelværdien. Det er en egenskab ved normalfordelingen, ikke ved alle datasæt. Et lille eller skævt datasæt kan fordele sig helt anderledes. Se også median, kvartilbredde og en figur.
Prøv selv
- Hvad er standardafvigelsen for 7; 7; 7?
- Find populationsstandardafvigelsen for 1; 3.
- Hvilken enhed har variansen, hvis data måles i minutter?
Vis facit og forklaringer
1. 0, fordi alle afvigelser er 0.
2. Gennemsnit 2, kvadratsum 2, varians 2/2 = 1 og standardafvigelse 1.
3. Minutter². Standardafvigelsen har enheden minutter.
Beregn standardafvigelse
Skriv 1–1000 tal med mellemrum eller semikolon mellem dem. Brug komma eller punktum som decimaltegn. Begge definitioner vises, så du kan vælge den rigtige.
Fagligt grundlag: OpenStax: standardafvigelse og varians. Eksempler, opgaver og figurer er udarbejdet til denne guide.