Fagligt opdateret: .
Binomialfordelingen beskriver antallet af succeser i n uafhængige forsøg med samme succes-sandsynlighed p. Vi skriver X ~ Bin(n, p), og X kan være 0, 1, …, n.
De fire betingelser
- Der er et fast antal forsøg, n.
- Hvert forsøg klassificeres som succes eller ikke-succes.
- Forsøgene er uafhængige.
- Sandsynligheden for succes, p, er den samme i hvert forsøg.
Succes er blot navnet på det udfald, du tæller. Det kan også være en fejl eller en defekt vare. Uafhængighed er en selvstændig betingelse, som ikke følger af, at p er konstant.
Formlen for præcis k succeser
P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!) tæller, hvor mange placeringer de k succeser kan have. Formlen gælder for hele k mellem 0 og n.
Gennemregnet eksempel
Antag 5 uafhængige forsøg med succes-sandsynlighed 0,20. Sandsynligheden for præcis 2 succeser er:
C(5,2) · 0,20² · 0,80³ = 10 · 0,04 · 0,512 = 0,2048
Svaret er 20,48 %. Faktoren 0,20² · 0,80³ gælder én bestemt rækkefølge af to succeser og tre ikke-succeser; binomialkoefficienten tager højde for alle 10 rækkefølger.
Præcis, højst og mindst
| Spørgsmål | Beregning |
|---|---|
| Præcis 2 | P(X = 2) |
| Højst 2 | P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) |
| Mindst 1 | 1 − P(X = 0) |
I eksemplet er P(X ≥ 1) = 1 − 0,80⁵ = 0,67232 = 67,232 %. “Mindst 1” er ikke det samme som “præcis 1”.
Middelværdi og spredning
E(X) = n · p · Var(X) = n · p · (1−p)
Her er E(X) = 5 · 0,20 = 1. Variansen er 5 · 0,20 · 0,80 = 0,8, og standardafvigelsen er √0,8 ≈ 0,8944. Middelværdien er ikke en forudsigelse om, at der nødvendigvis kommer præcis én succes.
Hvornår passer modellen ikke?
Trækker du kort uden tilbagelægning, ændrer sandsynligheden sig typisk efter hvert træk. Så er modellen ikke præcist binomial. Også påvirkning mellem forsøg eller forskellige succes-sandsynligheder bryder betingelserne. En binomialmodel kræver en begrundelse, ikke kun et fast antal observationer.
Prøv selv
- Tre uafhængige fair møntkast: find sandsynligheden for præcis 2 kroner.
- Find middelværdien for Bin(20; 0,3).
- Er 10 korttræk uden tilbagelægning automatisk binomialfordelte?
Vis facit og forklaringer
1. C(3,2) · 0,5³ = 0,375.
2. 20 · 0,3 = 6.
3. Nej; sandsynligheden ændres normalt fra træk til træk.
Beregn en binomialsandsynlighed
Indtast n fra 1 til 200, p som decimaltal fra 0 til 1 og et helt k mellem 0 og n.
Fagligt grundlag: OpenStax: binomialfordeling. Regneeksempler og figurer er udarbejdet til denne guide.