Differentialregning: afledte, regneregler og tangenter

Fagligt opdateret: 20. oktober 2026.

Hvad er forskellen på f(x), f′(x) og f′(x₀)?

f(x) er den oprindelige funktion. f′(x), udtalt »f mærke af x«, er en ny funktion, der fortæller hældningen ved hver x-værdi, hvor f er differentiabel. f′(x₀) er ét tal: hældningen ved netop x₀.

For f(x) = x² er f′(x) = 2x. Ved x₀ = 3 får du f(3) = 9, men f′(3) = 6. Tallet 9 beskriver grafens højde; tallet 6 beskriver dens lokale hældning. Det er ikke det samme spørgsmål. For en lineær funktion f(x) = ax + b er f′(x) = a overalt, så hældningen er konstant.

Et eksempel med enheder: position og hastighed

En bevægelse er beskrevet ved s(t) = 3t² + 2t for t ≥ 0, hvor s måles i meter og t i sekunder. Så er s′(t) = 6t + 2. Ved t = 3 er positionen s(3) = 33 m, mens den øjeblikkelige hastighed er s′(3) = 20 m/s.

Fra t = 2 til t = 3 er den gennemsnitlige hastighed derimod (33 − 16)/(3 − 2) = 17 m/s. Differentialregning skelner altså mellem ændringen over et interval og ændringshastigheden på et bestemt tidspunkt.

Fra sekantens gennemsnit til tangentens hældning

En sekant går gennem to forskellige punkter på grafen. Dens hældning er ændringen i y divideret med ændringen i x:

m = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h, hvor h ≠ 0

For f(x) = x² går sekanten gennem P = (1, 1) og Q = (2, 4). Her er hældningen (4 − 1)/(2 − 1) = 3. Tangenten ved P har derimod hældningen f′(1) = 2. Den lokale hældning er ikke automatisk den samme som sekantens over et stort interval.

Når Q nærmer sig P fra begge sider, nærmer sekantens hældning sig 2. For denne funktion er differenskvotienten ved x₀ = 1 lig med 2 + h:

Definitionen af den afledte

Ved et indre punkt i definitionsmængden defineres den afledte ved grænseværdien:

f′(x₀) = lim_{h → 0} (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h

Der skal være den samme endelige grænseværdi fra venstre og højre. Du sætter ikke h = 0 direkte ind i brøken, for så dividerer du med 0. I stedet undersøger du, hvad brøken nærmer sig, mens h er forskellig fra 0.

For f(x) = x² kan vi regne med en vilkårlig x-værdi: ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h for h ≠ 0. Når h → 0, får vi f′(x) = 2x. Det er begrundelsen bag regnereglen i dette eksempel.

De grundlæggende regneregler

Når du kender reglerne, behøver du ikke begynde med grænseværdien hver gang. Differentier i forhold til x; konstanterne k og a i tabellen afhænger ikke af x.

Den samme potensregel kan bruges på andre eksponenter dér, hvor betingelserne er opfyldt. Eksempelvis er 1/x = x⁻¹ for x ≠ 0, og √x = x^1/2 for x ≥ 0; den afledte af √x i tabellen gælder kun for x > 0. Se også potensfunktioner og deres domæner.

Gennemregnet eksempel med et polynomium

Lad f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 7. Differentier hvert led:

• 2x³ giver 2 · 3x² = 6x².
• −5x² giver −5 · 2x = −10x.
• 4x giver 4.
• −7 giver 0.

Derfor er f′(x) = 6x² − 10x + 4. Den konstante −7 skal ikke stå tilbage som −7 i den afledte.

Eksponentialfunktioner bruger en anden regel end potensfunktioner. For f(x) = 2ˣ er f′(x) = ln(2) · 2ˣ — ikke x · 2^x−1. Forskellen er, om x står i eksponenten eller i grundtallet. Se eksponentielle funktioner.

Sådan finder du tangentens ligning

Du skal bruge to forskellige oplysninger: punktets højde f(x₀) og tangentens hældning f′(x₀).

1. Differentier funktionen for at finde f′(x).
2. Indsæt x₀ i den oprindelige funktion: y₀ = f(x₀).
3. Indsæt x₀ i den afledte: m = f′(x₀).
4. Skriv y = m · (x − x₀) + y₀, og forenkl om nødvendigt.

Eksempel: f(x) = 2x² − 3x + 1 ved x₀ = 2

Den afledte er f′(x) = 4x − 3. Punktets højde er f(2) = 8 − 6 + 1 = 3, og hældningen er f′(2) = 8 − 3 = 5. Tangenten er derfor:

y = 5(x − 2) + 3 = 5x − 7

Kontrollér punktet: Ved x = 2 giver tangenten 10 − 7 = 3, præcis som f(2). Men en tangent er ikke identisk med funktionen. Ved x = 2,01 giver den 3,05, mens f(2,01) = 3,0502. Tangenten er en lokal lineær tilnærmelse; den behøver ikke være præcis længere fra berøringspunktet.

Polynomium- og tangentberegner

Beregneren håndterer kun f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Sæt a = 0 for en andengradsfunktion, og a = b = 0 for en lineær funktion. Den understøtter også konstante funktioner. Den er ikke en generel CAS-beregner og kan ikke læse frie udtryk som sin(x), 1/x eller eˣ.

Indtast tal mellem −1000 og 1000 med højst fire decimaler. Brug komma eller punktum, ingen tusindtalsseparator, brøker eller e-notation.

a — tallet foran x³

b — tallet foran x²

c — tallet foran x

d — konstantleddet

x₀ — punktets x-værdiFind afledt og tangent

Tryk på knappen for at finde tangenten til 2x² − 3x + 1 ved x₀ = 2, eller indtast dine egne koefficienter.

Resultatet viser den afledte, punktets højde, hældningen og tangentens ligning. Decimalerne behandles eksakt, og punktet efterprøves. Beregneren laver ikke en fuld monotoniundersøgelse og finder ikke automatisk maksimum eller minimum.

Produktregel, kvotientregel og kæderegel

Ledvis differentiering er ikke nok til alle funktioner. Følgende regler gælder i punkter, hvor de nødvendige afledte findes:

Produkt: For (x² + 1)(3x − 2) får du 2x(3x − 2) + (x² + 1) · 3 = 9x² − 4x + 3. Man må ikke nøjes med at gange de to afledte sammen.

Kæderegel: For f(x) = (2x + 1)³ er den ydre funktion »i tredje«, og den indre er 2x + 1. Derfor er f′(x) = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)². Den indre afledte 2 skal med.

Kvotient: For f(x) = (x + 1)/(x − 1), x ≠ 1, får du f′(x) = ((x − 1) − (x + 1))/(x − 1)² = −2/(x − 1)². Funktionen og den afledte er stadig ikke defineret ved x = 1.

Den afledte findes ikke altid

En pæn regneregel må ikke få dig til at glemme definitionsmængden. Funktionen 1/x findes ikke ved 0, så den kan heller ikke have en afledt dér. Funktionen |x| er godt nok kontinuert i 0, men har et knæk: venstresidens hældning er −1, og højresidens er 1. Derfor findes ingen afledt i 0.

En tangent skal heller ikke defineres som en linje, der kun må møde grafen én gang. For f(x) = x³ er tangenten ved 0 x-aksen, og den krydser grafen i punktet. Det afgørende er den lokale hældning.

Fortegnet beskriver ændring — ikke grafens højde

Positiv f′ peger på voksende funktion og negativ f′ på aftagende funktion på et interval, hvor betingelserne er opfyldt. f′(x₀) = 0 betyder en vandret tangent, men ikke nødvendigvis et ekstremum. For x³ er den afledte 3x², som er 0 ved 0 uden at skifte fortegn. Brug guiden til monotoniforhold, når du vil lave fortegnsoversigt og undersøge ekstrema.

Typiske fejl i differentialregning

• f og f′ blandes sammen. Brug f til punktets højde og f′ til hældningen.
• Konstanten bliver stående. Den afledte af 7 er 0, ikke 7.
• Eksponenten sænkes uden faktor. x⁵ bliver 5x⁴, ikke blot x⁴.
• Den indre afledte glemmes. (2x + 1)³ kræver kædereglen.
• Der sættes h = 0 for tidligt. Differenskvotienten kræver h ≠ 0; den afledte er en grænseværdi.

Otte opgaver med facit

1. Differentier f(x) = 4x³ − 2x + 9.
2. For f(x) = x²: find både f(−2) og f′(−2).
3. Find tangenten til f(x) = x² + 1 ved x₀ = 2.
4. Differentier f(x) = (3x − 2)⁴.
5. Differentier f(x) = x² · (x + 4).
6. Differentier f(x) = 5/x, og angiv definitionsmængden.
7. Hvorfor er f′(0) = 0 for f(x) = x³ ikke bevis for et maksimum eller minimum?
8. En model er s(t) = 2t² + 3t meter for t ≥ 0 sekunder. Find den øjeblikkelige hastighed ved t = 2.

Vis facit og mellemregninger

1. f′(x) = 12x² − 2. Konstanten 9 forsvinder.
2. f(−2) = 4, men f′(−2) = 2 · (−2) = −4. Grafen har positiv højde og negativ hældning.
3. f′(x) = 2x, så m = 4 og f(2) = 5. Tangenten er y = 4(x − 2) + 5 = 4x − 3.
4. f′(x) = 4(3x − 2)³ · 3 = 12(3x − 2)³.
5. Produktreglen giver 2x(x + 4) + x² = 3x² + 8x.
6. f′(x) = −5/x² for x ≠ 0. Både funktionen og denne afledte har definitionsmængden ℝ uden 0.
7. f′(x) = 3x² er positiv på begge sider af 0. Funktionen vokser gennem punktet; der er kun en vandret tangent, ikke et ekstremum.
8. s′(t) = 4t + 3. Ved t = 2 er hastigheden 11 m/s.

Fagligt grundlag: OpenStax om definitionen af den afledte, differentieringsregler, kædereglen og eksponential- og logaritmefunktioner. Tekst, figur, regneeksempler, opgaver og beregner er udarbejdet til denne guide.