Fagligt opdateret: .
Kvadratroden af a er det ikke-negative tal, der ganget med sig selv giver a. Derfor er √25 = 5, fordi 5² = 25. Rodtegnet √ giver ét svar. Ligningen x² = 25 har derimod to løsninger: x = 5 og x = −5. I de reelle tal kræver √a, at a ≥ 0.
√a = b betyder b² = a og b ≥ 0.
Hvad er en kvadratrod?
Når du kvadrerer et tal, ganger du det med sig selv: 7² = 7 · 7 = 49. Kvadratroden går den modsatte vej og finder den ikke-negative værdi: √49 = 7. Tallet under rodtegnet kaldes radikanden. Hele det udtryk, rodstregen dækker, hører med under roden.
En geometrisk forklaring er siden i et kvadrat. Har kvadratet arealet 49 cm², skal sidelængden s opfylde s² = 49 cm². Siden er √(49 cm²) = 7 cm. En længde kan ikke være −7 cm i denne opgave.
Kvadratrodsberegner
Indtast et tal fra 0 til 1.000.000.000.000 med højst seks decimaler. Du kan bruge decimalkomma eller decimalpunktum. Skriv eksempelvis 1000 for tusind — ikke 1.000. Frie udtryk og brøker som 1/4 kan ikke indtastes; brug 0,25.
Et eksakt svar markeres med =. Ellers vises ≈ og en værdi afrundet til otte decimaler. Beregneren finder hovedroden, ikke automatisk både et positivt og et negativt resultat.
Kvadrattal gør mange rødder nemme
Et kvadrattal er her et helt tal, der er et helt tal i anden. Kender du de første kvadrattal, kan du genkende mange kvadratrødder uden lommeregner:
| Tal n | Kvadrattal n² | Kvadratrod √(n²) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 6 | 36 | 6 |
| 7 | 49 | 7 |
| 8 | 64 | 8 |
| 9 | 81 | 9 |
| 10 | 100 | 10 |
| 12 | 144 | 12 |
En kvadratrod behøver ikke at være et helt tal. For eksempel er √0,09 = 0,3, fordi 0,3 · 0,3 = 0,09. Tilsvarende er √2,25 = 1,5. Tallene 0,09 og 2,25 kaldes ikke hele kvadrattal i tabellens betydning, men deres rødder kan stadig skrives eksakt som endelige decimaltal.
Sådan finder du en tilnærmet kvadratrod
Hvis tallet ikke er et helt kvadrattal, kan du først placere det mellem to, du kender. Ved √50 er 49 < 50 < 64. Derfor er 7 < √50 < 8. Svaret må være lidt større end 7, ikke større end 8.
Du kan indsnævre intervallet: 7,07² = 49,9849 og 7,08² = 50,1264. Så 7,07 < √50 < 7,08. Med flere decimaler får du √50 ≈ 7,07106781. Tegnet ≈ betyder »cirka lig med«.
√50 er stadig den eksakte værdi. En endelig decimaltilnærmelse er ikke præcis den samme værdi. Behold den eksakte rod eller flere decimaler undervejs, og afrund først det endelige svar til den præcision, opgaven beder om.
Regneregler for kvadratrødder
| Regel | Betingelse | Eksempel |
|---|---|---|
| √(ab) = √a · √b | a ≥ 0 og b ≥ 0 | √(9 · 16) = 3 · 4 = 12 |
| √(a/b) = √a / √b | a ≥ 0 og b > 0 | √(25/64) = 5/8 |
| (√a)² = a | a ≥ 0 | (√11)² = 11 |
| √(x²) = |x| | Alle reelle x | √((−7)²) = 7 |
Symbolerne |x| betyder den absolutte værdi: afstanden fra 0. Derfor bliver |−7| = 7. Hvis du ved, at x ≥ 0, kan du skrive √(x²) = x. Uden den oplysning skal du beholde |x|.
Reglen for produkter må ikke bruges på vilkårlige negative faktorer. √((−2) · (−8)) = √16 = 4 er reel, men √(−2) · √(−8) kan ikke beregnes som et produkt af reelle kvadratrødder. Det er ikke en modsigelse: betingelsen a ≥ 0 og b ≥ 0 er ikke opfyldt.
Sådan forenkler du en kvadratrod
At forenkle er ikke det samme som at afrunde. Ved forenkling skriver du den samme eksakte værdi på en mere overskuelig måde. Find en faktor under rodtegnet, der er et kvadrattal:
- Del 108 op som 36 · 3.
- Brug produktreglen: √108 = √36 · √3.
- Tag roden af kvadrattallet: √108 = 6√3.
Det sidste udtryk betyder 6 · √3. Du kan ikke tage roden af 6 igen, for det står allerede uden for rodtegnet. En kontrol er (6√3)² = 36 · 3 = 108, og 6√3 er positivt.
Plus og minus kræver samme roddel
Forenkl først: √75 + √12 = 5√3 + 2√3 = 7√3. Begge led indeholder √3, så koefficienterne kan lægges sammen. Derimod kan √2 + √3 ikke generelt samles til én rod ved at lægge tallene under rødderne sammen.
Brøker og potenser
√(9/16) = √9/√16 = 3/4. Kvadratroden kan også skrives som en potens med eksponenten 1/2: a1/2 = √a for a ≥ 0. Se potensregneregler for forklaringen på brøkeksponenter og deres domænekrav. På en lommeregner skriver du eksempelvis 81^(1/2), med parentes om hele eksponenten.
Hvorfor har x² = 25 to løsninger, når √25 kun er 5?
Rodtegnet er defineret til at vælge hovedroden, som er ikke-negativ. Men både 5 · 5 og (−5) · (−5) giver 25. Derfor løser både 5 og −5 ligningen, selv om selve √25 kun er 5.
| Værdi af a | Løsninger |
|---|---|
| a > 0 | To: x = √a og x = −√a |
| a = 0 | Én: x = 0 |
| a < 0 | Ingen reelle løsninger |
For eksempel giver x² − 36 = 0 først x² = 36 og derefter x = ±6. Tegnet ± er en kort måde at skrive både plus og minus. Hvis x er en sidelængde i en geometrisk opgave, er kun den ikke-negative løsning relevant. Se ligninger og efterprøvning for flere principper om at bevare og kontrollere løsninger.
Hvor bruges kvadratroden?
I Pythagoras’ læresætning finder du hypotenusen som c = √(a² + b²). For kateter på 6 cm og 8 cm bliver c = √(36 + 64) = 10 cm. Roden dækker hele summen, og trekanten skal være retvinklet.
Som funktion skrives kvadratroden f(x) = √x = x1/2. I de reelle tal er definitionsmængden x ≥ 0, og funktionsværdierne er også ikke-negative. Det er et særligt eksempel på en potensfunktion. Du kan derfor både bruge kvadratroden til at finde et tal og studere den som en sammenhæng mellem tal.
Fire typiske fejl
- At sætte ± foran en almindelig kvadratrod. √64 = 8. Det er ligningen x² = 64, der har løsningerne ±8.
- At fordele roden over en sum. √(9 + 16) = 5, men √9 + √16 = 7. Gange-reglen er ikke en plus-regel.
- At glemme absolut værdi. √(x²) = |x|, ikke altid x. Prøv x = −2 som kontrol.
- At kvadratrod betyder at halvere. √36 = 6, ikke 18. Kvadrering og fordobling er forskellige operationer.
Har du et negativt tal under rodtegnet, som √(−4), er resultatet ikke reelt. Det er ikke det samme som −√4, der er det reelle tal −2. Komplekse tal behandles ikke i denne begynderguide.
Otte opgaver med facit
- Beregn √121 og √0,0625.
- Placér √30 mellem to på hinanden følgende hele tal.
- Forenkl √180.
- Forenkl √45 + √20.
- Beregn √((−9)²).
- Løs x² = 49 og x² = 0 i de reelle tal.
- Find sidelængden af et kvadrat med arealet 81 cm².
- Er √(16 + 9) det samme som √16 + √9? Beregn begge.
Vis facit og mellemregninger
- 11 og 0,25, fordi 11² = 121 og 0,25² = 0,0625.
- 25 < 30 < 36, så 5 < √30 < 6.
- √(36 · 5) = 6√5.
- 3√5 + 2√5 = 5√5.
- √81 = 9, altså |−9|.
- x² = 49 har x = −7 eller x = 7. x² = 0 har kun x = 0.
- √(81 cm²) = 9 cm.
- Nej. √25 = 5, mens 4 + 3 = 7.
Fagligt grundlag: OpenStax om hovedrødder og regneregler, kvadrattal og tilnærmelse, forenkling og absolut værdi og ligninger med kvadrater. Tekst, figurer, eksempler, opgaver og beregner er udarbejdet til denne guide.