Den-Store.dk logo Den-Store.dk
Matematik

Potensregneregler: regler, eksempler og typiske fejl

Opdateret: oktober 19, 2026

Fagligt opdateret: .

Potensregneregler gør gentagen multiplikation kortere. Når du ganger potenser med samme grundtal, lægger du eksponenterne sammen. Ved division trækker du dem fra hinanden. Når en hel potens opløftes til en ny potens, ganger du eksponenterne. Tjek altid parenteser og om grundtallet må være 0.

am · an = am+n   men   (am)n = am·n

Hvad er grundtal og eksponent?

I 43 er 4 grundtallet og 3 eksponenten. En positiv hel eksponent fortæller, hvor mange gange grundtallet optræder som faktor:

43 = 4 · 4 · 4 = 64

Det er ikke 4 · 3. Du kan læse 43 som »4 i tredje« eller »4 opløftet til tredje potens«. Tallet 41 er bare 4. Notationen x2 betyder tilsvarende x · x, ikke 2x.

Oversigt over de vigtigste potensregneregler

I denne tabel er m og n hele tal. Den enkle fælles betingelse a ≠ 0 og b ≠ 0 gør alle reglerne gyldige, også ved negative eksponenter. Nogle regler kan også bruges ved 0, når alle potenser er definerede; se afsnittet om nul.

Vælg regel efter regnetegnet — ikke efter udseendet alene
SituationRegelEksempel
Gang, samme grundtalam · an = am+n23 · 24 = 27
Division, samme grundtalam / an = am−n35 / 32 = 33
Potens af en potens(am)n = am·n(23)2 = 26
Produkt i parentes(ab)n = anbn(2 · 5)3 = 23 · 53
Brøk i parentes(a/b)n = an/bn(3/4)2 = 9/16
Nuleksponenta0 = 170 = 1
Negativ eksponenta−n = 1/an5−2 = 1/25

Gange og dividere potenser med samme grundtal

Ved gang lægger du eksponenterne sammen

23 · 22 indeholder først tre 2-taller og derefter to mere. I alt er der fem faktorer:

(2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 25 = 32

Reglen kræver samme grundtal. Du må ikke omskrive 23 · 32 til 65. Her er værdien 8 · 9 = 72. Har potenserne i stedet samme eksponent, kan du samle grundtallene: 23 · 53 = (2 · 5)3 = 1.000.

Ved division trækker du nævnerens eksponent fra

35 / 32 = 35−2 = 33 = 27. To af tællerens fem 3-taller forkortes med nævnerens to 3-taller. Derfor bliver tre tilbage.

Hvis nævnerens eksponent er størst, bliver forskellen negativ: 32 / 35 = 3−3 = 1/27. Vend ikke rækkefølgen af eksponenterne. Og nævneren må aldrig være 0.

Parenteser: hvornår skal eksponenterne ganges?

I (23)2 er hele 23 en faktor, som skal ganges med sig selv. Derfor får du 23 · 23 = 26 = 64. Den ydre eksponent ganger den indre — den lægges ikke til.

Fem faktorer ved 2 i tredje gange 2 i anden, men seks ved 2 i tredje opløftet til anden Gang: 3 faktorer + 2 faktorer 2 · 2 · 2·2 · 2= 2⁵ = 32 Potens af potens: 2 grupper med 3 faktorer 2 · 2 · 2·2 · 2 · 2= 2⁶ = 64 2³ · 2² og (2³)² er altså to forskellige udtryk.
Ved gang tæller du faktorer fra begge potenser. Ved en potens af en potens gentager du hele gruppen.

Eksponenten gælder hele parentesen

(3x)2 = 32x2 = 9x2. Uden parentes er 3x2 derimod 3 · x · x. Prøv x = 2: det første giver 36, det andet 12.

Ved en brøk gælder reglen både tæller og nævner: (3/4)−2 = (4/3)2 = 16/9. Begge de oprindelige tal skal være forskellige fra 0, når eksponenten er negativ.

Nul og negative eksponenter

Hvorfor er a⁰ lig med 1?

For a ≠ 0 er a3 / a3 = 1. Divisionsreglen giver samtidig a3−3 = a0. Det forklarer, hvorfor nuleksponenten skal give 1. Også (−8)0 og (1/5)0 er 1.

Det er eksponenten, der er 0 — ikke nødvendigvis resultatet. 04 = 0, men 40 = 1. I denne guides almindelige potensregning regner vi ikke 00 som defineret. Nogle faglige sammenhænge bruger en særlig konvention, som ikke må blandes ind i regnereglerne uden forklaring.

En negativ eksponent giver den omvendte værdi

2−3 = 1/23 = 1/8. Det er ikke −8. Om resultatet er negativt, afhænger af grundtallet og eksponenten: (−2)−3 = −1/8, mens (−2)−2 = 1/4.

0−1 ville kræve 1/0 og er derfor ikke defineret. Men 02 · 03 = 05 = 0 er helt i orden: alle eksponenter er positive. Når du forkorter et bogstavudtryk, skal du bevare oprindelige begrænsninger. x3/x = x2 gælder kun for x ≠ 0, selv om x2 alene også kan beregnes ved 0.

Prøv potensregneregler med dine egne tal

Vælg en af tre regler, og se omskrivningen og det eksakte resultat. Grundtallet skal være et helt tal fra −100 til 100; m og n skal være hele tal fra −12 til 12. Beregneren læser ikke frie udtryk, decimaler eller brøkeksponenter.

Vælg tal, og tryk på knappen. Standardeksemplet er 2³ · 2².

Negative grundtal sættes i parentes. Meget store svar vises som hele tal eller forkortede brøker uden afrunding.

Et samlet eksempel med tal og bogstaver

Forkort (6x5y2) / (9x2y), hvor x ≠ 0 og y ≠ 0:

  1. Forkort tallene: 6/9 = 2/3.
  2. Træk x-eksponenterne fra: x5−2 = x3.
  3. Træk y-eksponenterne fra: y2−1 = y.
  4. Saml resultatet: (2x3y)/3, stadig med x ≠ 0 og y ≠ 0.

Kontrol med x = 2 og y = 3 giver 16 både i det oprindelige og i det forkortede udtryk. En talprøve kan fange en regnefejl, men beviser ikke alene en regel for alle tal. Se også regnereglerne for brøker, hvis forkortelsen er den svære del.

Hvad betyder en brøk i eksponenten?

En brøkeksponent forbinder potenser og rødder. For a > 0, helt m og positivt helt n er am/n = (ⁿ√a)m. Nævneren fortæller, hvilken rod du skal tage, og tælleren fortæller, hvilken potens roden opløftes til.

For eksempel er 163/4 = (⁴√16)3 = 23 = 8, mens 9−1/2 = 1/√9 = 1/3. Skriv hele eksponenten i parentes på en lommeregner: 16^(3/4).

Negative grundtal kræver ekstra omtanke. En ulige rod som ³√(−27) = −3 er reel, men √(−9) er ikke reel. Du må heller ikke bruge potens-af-potens-reglen ukritisk med brøkeksponenter: ((−3)2)1/2 = √9 = 3, mens (−3)2·1/2 = −3. Kravet a > 0 er et sikkert fælles udgangspunkt for de almindelige regler med vilkårlige reelle eksponenter.

Typiske fejl med potenser

  • Plus er ikke gange. 43 + 43 = 2 · 43 = 128, ikke 46. Kun ved multiplikation med samme grundtal lægger du eksponenterne sammen.
  • En sum kan ikke fordeles som et produkt. (2 + 3)2 = 25, men 22 + 32 = 13. For bogstaver er (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
  • Minustegn og parenteser er forskellige. (−3)2 = 9, men −32 = −(32) = −9. Potensen regnes før det foranstillede minus.
  • Hele udtrykket skal med op i potensen. (2x)3 = 8x3, ikke 2x3.

Ved flere regnearter begynder du med parenteser og potenser, derefter gange/division og til sidst plus/minus. Skriv en mellemregning, før du bruger lommeregneren, så du kan se, hvilken regel der faktisk passer.

Otte opgaver med facit

  1. Skriv 52 · 53 som én potens, og beregn værdien.
  2. Beregn 23 / 25.
  3. Skriv (32)3 som én potens, og beregn værdien.
  4. Beregn (−4)2 og −42. Forklar forskellen.
  5. Beregn (2/3)−2.
  6. Forkort x4 / x4. Hvilket krav gælder for x?
  7. Beregn 251/2 + 20.
  8. Forkort (8x5) / (2x2), og behold domænekravet.
Vis facit og mellemregninger
  1. 52+3 = 55 = 3.125.
  2. 23−5 = 2−2 = 1/4.
  3. 32·3 = 36 = 729.
  4. (−4) · (−4) = 16, men −(4 · 4) = −16.
  5. (3/2)2 = 9/4.
  6. x0 = 1, men kun for x ≠ 0. Det oprindelige udtryk har ellers nul i nævneren.
  7. √25 + 1 = 5 + 1 = 6. 251/2 er hovedroden, ikke både −5 og 5.
  8. (8/2)x5−2 = 4x3, med x ≠ 0.

Fagligt grundlag: OpenStax om hele og negative eksponenter, potensregler og parenteser og brøkeksponenter. Tekst, figur, eksempler, opgaver og beregner er udarbejdet til denne guide.

Skrevet af Alexander

← Tilbage til bloggen