Ligninger: sådan isolerer du x trin for trin

Hvad er en ligning, og hvad betyder det at isolere x?

En ligning indeholder et lighedstegn, fx 3x + 5 = 20. Venstresiden er 3x + 5, og højresiden er 20. Bogstavet x er den ubekendte. Udtrykket 3x betyder 3 · x; tallet 3 er koefficienten foran x.

At isolere x betyder at omskrive ligningen, indtil x står alene, fx x = 5. En løsning skal gøre den oprindelige ligning sand. Sætter vi 5 ind, bliver venstresiden 3 · 5 + 5 = 20, så kontrollen passer.

Her arbejder vi med reelle tal og ligninger med én ubekendt, især førstegradsligninger. De kan samles til a·x + b = c med a ≠ 0. Ligninger med x² kræver andre metoder. Specialtilfældet a = 0 forklares også, fordi x-led kan forsvinde undervejs.

Balanceprincippet: gør det samme på begge sider

Tænk på en vægt i balance. Ændrer du kun den ene side, er balancen ikke længere sikret. Du skal derfor skrive den samme regnehandling på begge sider, når du ændrer ligningen.

Huskereglen »flyt over og skift fortegn« er en forkortelse, ikke en ny regnelov. I x + 4 = 7 skriver vi egentlig x + 4 − 4 = 7 − 4. Det forklarer både, hvorfor 4 forsvinder til venstre, og hvorfor der står −4 til højre.

Du må ikke dividere med 0. Pas også på at dividere med x: I 2x = 0 er løsningen netop x = 0, så division med x ville miste den. Læs eventuelt guiden om division med hele tal og kommatal.

Et enkelt eksempel: 3x + 5 = 20

1. Fjern tillægget 5: 3x + 5 − 5 = 20 − 5, altså 3x = 15.
2. Fjern faktoren 3: 3x/3 = 15/3, altså x = 5.
3. Kontrollér: 3 · 5 + 5 = 20. Derfor er 5 en løsning.

Man ophæver her regnehandlingerne i omvendt rækkefølge: først plus 5, derefter gange 3. Det er ikke rigtigt blot at regne 20/3 og så trække 5 fra.

Ligninger med x på begge sider

Regn 5x − 4 = 2x + 11. Saml først x-leddene:

Efterprøv i begge oprindelige sider: 5 · 5 − 4 = 21 og 2 · 5 + 11 = 21. De er lige store. Du kunne også have samlet x-leddene til højre; en anden korrekt rækkefølge giver samme løsning.

Sådan løser du ligninger med parenteser

Gang ind på alle led

For 2(x − 3) + 4 = 14 skal 2 ganges med både x og −3:

1. Ophæv parentesen: 2x − 6 + 4 = 14.
2. Saml tallene: 2x − 2 = 14.
3. Læg 2 til begge sider: 2x = 16.
4. Divider med 2: x = 8.

Kontrol: 2(8 − 3) + 4 = 10 + 4 = 14. Fejlen 2(x − 3) = 2x − 3 opstår, hvis du glemmer at gange det sidste led med 2.

Minus foran en parentes ændrer begge fortegn

I 7 − (x − 2) = 3 får du 7 − x + 2 = 3, altså 9 − x = 3. Træk 9 fra begge sider: −x = −6. Divider med −1, så x = 6. Kontrollen er 7 − (6 − 2) = 3.

Ligninger med brøker og fællesnævner

En fællesnævner kan fjerne brøkstreger, hvis du ganger hele venstre- og højresiden med den. Se dette eksempel:

(x − 1)/3 + x/2 = 3

1. Fællesnævneren for 3 og 2 er 6. Gang alle led med 6: 2(x − 1) + 3x = 18.
2. Ophæv parentesen: 2x − 2 + 3x = 18.
3. Saml x-led: 5x − 2 = 18.
4. Læg 2 til og divider derefter med 5: 5x = 20, så x = 4.

Kontrol i den oprindelige ligning: (4 − 1)/3 + 4/2 = 1 + 2 = 3. Læs mere om brøker, fællesnævner og regneregler, hvis selve brøkregningen driller.

Her er nævnerne kendte tal. Står x i en nævner, skal du først angive, hvilke x-værdier der ville give division med 0. De værdier er udelukket, også efter en omskrivning. Sådanne brøkligninger er ikke den afgrænsede beregner herunder.

Med decimaltal: gang hele ligningen op

0,4x + 1,2 = 3,6 kan ganges med 10 på begge sider: 4x + 12 = 36. Træk 12 fra og divider med 4. Resultatet er x = 6. Kontrollér: 0,4 · 6 + 1,2 = 2,4 + 1,2 = 3,6.

Én, ingen eller uendeligt mange løsninger?

Efter oprydning kan x-leddene forsvinde. Det betyder ikke automatisk, at x er 0.

• Én løsning: 3x = 15 giver x = 5.
• Uendeligt mange løsninger: 2(x + 1) = 2x + 2 giver efter ophævelse af parentesen samme udtryk på begge sider. Til sidst står 0 = 0, som er sandt for alle reelle x.
• Ingen løsning: 2(x + 1) = 2x + 5 ender med 2 = 5, som aldrig er sandt.

I formen a·x + b = c gælder: Hvis a ≠ 0, er x = (c − b)/a. Hvis a = 0 og b = c, er alle reelle tal løsninger. Hvis a = 0 og b ≠ c, er der ingen løsning.

Fra tekst og procent til en ligning

En tænkt vare koster 240 kr. efter 20 % rabat. Lad x være den oprindelige pris. Der er 80 % tilbage, så ligningen er 0,8x = 240. Divider begge sider med 0,8: x = 300 kr. Kontrol: 20 % af 300 er 60, og 300 − 60 = 240. Se guiden om procentregning for forklaringen på faktoren 0,8.

Vælg altid, hvad x betyder, og kontrollér enheder og mulige værdier. Er x et antal personer, skal svaret fx være et ikke-negativt heltal. En algebraisk brøkløsning kan være korrekt regnet, men passe dårligt til en bestemt praktisk opgave.

Vil du forbinde ligninger med grafer, kan du læse om lineære funktioner, hældning og nulpunkt. At finde nulpunktet for f(x) = ax + b svarer til at løse ax + b = 0.

Typiske fejl, du kan opdage med en kontrol

• Du ændrer kun én side: Skriv regnehandlingen på begge sider, indtil fremgangsmåden sidder fast.
• Du glemmer fortegnet: I 3x − 5 = 20 er tillægget −5, så du lægger 5 til begge sider.
• Du dividerer kun ét led: Dividerer du 2x + 6 = 10 med 2, bliver hele ligningen x + 3 = 5.
• Du afrunder for tidligt: Behold fx x = 1/3 som brøk under kontrollen. 0,33 er kun en tilnærmelse.
• Du stopper ved et svar uden at efterprøve: Indsæt løsningen i den oprindelige ligning, især efter parenteser eller brøker.

Prøv selv: otte ligninger med facit

1. 4x + 7 = 31.
2. −3x + 2 = 14.
3. 5x − 3 = 2x + 12.
4. 3(x − 2) = 2x + 5.
5. (x + 2)/4 + x/2 = 5.
6. 0,25x + 1,5 = 4.
7. 4(x + 1) = 4x + 4.
8. 4(x + 1) = 4x + 7.

Fagligt grundlag: OpenStax, Elementary Algebra 2e: ubekendte på begge sider, løsningsstrategi og antal løsninger samt ligninger med brøker og decimaler. Tekst, figur, eksempler, opgaver og beregner er udarbejdet til denne guide.