En median i en trekant går fra et hjørne til midtpunktet af den modstående side. Hver trekant har tre medianer. De mødes i tyngdepunktet, som deler hver median i forholdet 2 : 1 regnet fra hjørnet.
Her handler median om geometri. Leder du efter det midterste tal i et datasæt, skal du i stedet bruge guiden til median i statistik.
Sådan tegner du en median
- Vælg et hjørne, for eksempel A i trekant ABC.
- Find midtpunktet M på den modstående side BC. Er BC = 12 cm, er BM = MC = 6 cm.
- Tegn linjestykket fra A til M. Det er medianen fra A.
- Gentag fra B og C, hvis du vil konstruere alle tre medianer.
Medianen behøver ikke stå vinkelret på siden. Den behøver heller ikke halvere vinklen ved hjørnet. Dens afgørende egenskab er, at den rammer sidens midtpunkt.
Median, højde og vinkelhalveringslinje
| Linjestykke | Det afgørende krav |
|---|---|
| Median | Går til midtpunktet af modstående side |
| Højde | Står vinkelret på modstående side eller dens forlængelse |
| Vinkelhalveringslinje | Deler en vinkel i to lige store vinkler |
I en ligebenet trekant falder medianen fra topvinklen sammen med højden og vinkelhalveringslinjen. I en vilkårlig trekant gør den normalt ikke. At de ser ens ud i én tegning, er derfor ikke en generel regel.
Tyngdepunktet deler medianen i 2 : 1
Lad G være tyngdepunktet på medianen AM. Så er AG = ⅔ · AM, og GM = ⅓ · AM. Hvis hele medianen er 9 cm, er AG = 6 cm og GM = 3 cm. Det længste stykke ligger nærmest hjørnet.
For en ensartet, tynd trekantet plade er G dens balancepunkt. I en almindelig matematisk trekant kaldes det også medianernes skæringspunkt. Skæringspunktet ligger altid inde i en ikke-degenereret trekant.
Find en median i et koordinatsystem
Hvis B = (0; 0) og C = (8; 0), er midtpunktet M = ((0 + 8)/2; (0 + 0)/2) = (4; 0). Med A = (2; 6) går medianen fra (2; 6) til (4; 0). Længden findes med afstandsformlen:
AM = √((4 − 2)² + (0 − 6)²) = √40 ≈ 6,325
Tyngdepunktet findes ved at tage gennemsnittet af hjørnernes koordinater: G = ((2 + 0 + 8)/3; (6 + 0 + 0)/3) = (10/3; 2). Punktet ligger to tredjedele af vejen fra A mod M.
Medianens længde ud fra de tre sider
Hvis a er siden over for A, og b og c er de to andre sider, er længden af medianen fra A:
mₐ = ½ · √(2b² + 2c² − a²)
Formlen følger af afstandsberegningen, når den modstående side placeres langs en koordinatakse. Den kræver, at a, b og c faktisk kan danne en trekant. Med a = 6, b = 5 og c = 5 får du mₐ = ½ · √(50 + 50 − 36) = 4. I denne ligebenede trekant kan du kontrollere med Pythagoras: √(5² − 3²) = 4.
Prøv selv
- BC = 14 cm. Hvor lange er BM og MC, når AM er en median?
- En median er 15 cm. Hvor langt er der fra hjørnet til tyngdepunktet?
- Er en median altid vinkelret på den modstående side?
Vis facit og forklaringer
1. Begge er 7 cm.
2. ⅔ · 15 = 10 cm. De sidste 5 cm går fra tyngdepunktet til sidens midtpunkt.
3. Nej. Det er højden, der er defineret ved en ret vinkel.
Fagligt grundlag: Anton Petrunin: medianer og tyngdepunkt. Eksempler, opgaver og figurer er udarbejdet til denne guide.