Fagligt opdateret: .
Trigonometri forbinder vinkler og sider i trekanter. I en retvinklet trekant kan sinus, cosinus og tangens bruges til at finde en ukendt side eller spids vinkel, når der er oplysninger nok.
Find siderne i forhold til den valgte vinkel
- Hypotenusen ligger over for den rette vinkel.
- Modstående katete ligger over for den spidse vinkel, du arbejder med.
- Hosliggende katete ligger ved den valgte vinkel og er ikke hypotenusen.
Skifter du til trekantens anden spidse vinkel, bytter de to kateter rolle. Hypotenusen er stadig den samme.
| Funktion | Forhold |
|---|---|
| sin(v) | Modstående katete / hypotenuse |
| cos(v) | Hosliggende katete / hypotenuse |
| tan(v) | Modstående katete / hosliggende katete |
Eksempel: find en side
En retvinklet trekant har hypotenuse 10 cm og en spids vinkel på 30°. Den modstående katete a findes med sinus: sin(30°) = a / 10. Derfor er a = 10 · sin(30°) = 5 cm.
Den hosliggende katete bliver 10 · cos(30°) ≈ 8,66 cm. Pythagoras giver samme resultat, fordi 5² + 8,66² ≈ 10².
Eksempel: find vinklen
I 3-4-5-trekanten er tan(v) = 3/4 = 0,75. Brug den inverse tangensfunktion: v = tan⁻¹(0,75) ≈ 36,87°. Den anden spidse vinkel er 90° − 36,87° ≈ 53,13°.
På en lommeregner betyder sin⁻¹ normalt den inverse sinusfunktion, også kaldet arcsin. Det betyder ikke 1/sin. Læs tastens funktion i sammenhængen.
Grader og radianer
En hel omdrejning er 360° eller 2π radianer. Dermed er 180° = π radianer. Hvis opgaven bruger grader, skal lommeregneren stå i DEG. Funktionen sin(30) giver ikke 0,5, hvis maskinen tolker 30 som radianer.
Når trekanten ikke er retvinklet
De simple sideforhold ovenfor kan ikke bruges direkte på en vilkårlig trekant. Her kan sinusrelationen a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) eller cosinusrelationen c² = a² + b² − 2ab · cos(C) være relevant. Siderne a, b, c ligger over for vinklerne A, B, C. Vælg relation efter de kendte oplysninger; nogle oplysninger kan give to mulige trekanter.
Prøv selv
- En retvinklet trekant har hypotenuse 12 og vinkel 30°. Find den modstående katete.
- Hvad er tan(45°)?
- Hvor mange radianer er 90°?
Vis facit og forklaringer
1. 12 · 0,5 = 6.
2. 1, fordi kateterne er lige lange.
3. π/2 radianer.
Fagligt grundlag: OpenStax: retvinklede trekanter. Regneeksempler og figurer er udarbejdet til denne guide.