Fagligt opdateret: .
En eksponentiel funktion har variablen i eksponenten. En almindelig model er f(x) = b · aˣ. Her er b begyndelsesværdien, og a er den faktor, der ganges med, hver gang x vokser med 1. I vækstmodeller bruger vi b > 0 og a > 0.
f(x) = b · aˣ
Hvad betyder a og b?
- b = f(0), fordi a⁰ = 1.
- a > 1: Modellen vokser, når b er positiv.
- 0 < a < 1: Modellen aftager, når b er positiv.
- a = 1: Funktionen er konstant; det er det degenererede tilfælde.
Eksempel: 20 % vækst
I f(x) = 100 · 1,2ˣ er begyndelsesværdien 100. Efter én enhed er værdien 120; efter to er den 144; efter tre er den 172,8. Stigningerne er 20, 24 og 28,8, selv om procentsatsen er den samme.
| x | Beregning | f(x) |
|---|---|---|
| 0 | 100 · 1,2⁰ | 100 |
| 1 | 100 · 1,2 | 120 |
| 2 | 100 · 1,2² | 144 |
| 3 | 100 · 1,2³ | 172,8 |
Fra procent til fremskrivningsfaktor
En stigning på r % giver a = 1 + r/100. Et fald på r % giver a = 1 − r/100. Ved et fald på 15 % er a = 0,85. For 200 · 0,85ˣ bliver værdien efter to perioder 200 · 0,85² = 144,5.
Bestem funktionen ud fra to punkter
For punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂), med positive y-værdier og forskellige x-værdier, kan du bruge:
a = (y₂/y₁)^(1/(x₂−x₁)) og b = y₁/ax₁
Punkterne (0, 100) og (3, 172,8) giver a = (172,8/100)^(1/3) = 1,2 og b = 100. Der er tre x-enheder mellem punkterne, så du skal finde den tredje rod af den samlede faktor.
Fordoblings- og halveringstid
Ved a > 1 er fordoblingstiden T₂ = ln(2)/ln(a). For a = 1,2 bliver den cirka 3,8018 x-enheder. Ved 0 < a < 1 er halveringstiden T½ = ln(0,5)/ln(a). For a = 0,85 bliver den cirka 4,2650 x-enheder.
Vælg enheden efter modellen: Er x målt i år, er tiden i år. Formlerne gælder den kontinuerte matematiske funktion, også når den praktiske registrering sker i hele perioder.
Eksponentiel, lineær eller potens?
Lineær vækst giver samme tillæg for samme ændring i x. Eksponentiel vækst giver samme faktor. En potensfunktion har derimod x i grundtallet, som i 3x², ikke i eksponenten. De modeller skal ikke blandes sammen.
Prøv selv
- Hvad er begyndelsesværdien i f(x) = 50 · 1,1ˣ?
- Hvilken faktor svarer til et fald på 8 % pr. periode?
- Find f(2), når f(x) = 80 · 0,5ˣ.
Vis facit og forklaringer
1. 50.
2. 0,92.
3. 80 · 0,25 = 20.
Fagligt grundlag: OpenStax: eksponentielle funktioner, OpenStax: eksponentialfunktioner og logaritmer. Regneeksempler og figurer er udarbejdet til denne guide.