Fagligt opdateret: .
En andengradsligning kan skrives som ax² + bx + c = 0, hvor a ≠ 0. Beregn diskriminanten d = b² − 4ac. Er d positiv, har ligningen to forskellige reelle løsninger; er d nul, har den én; er d negativ, har den ingen reelle løsninger. Brug derefter løsningsformlen eller en enklere faktorisering.
d = b² − 4ac og x = (−b ± √d)/(2a)
Hvad er en andengradsligning, og hvordan finder du a, b og c?
Den højeste potens af x er 2, når ligningen er samlet og forenklet. I 2x² − 7x + 3 = 0 er a = 2, b = −7 og c = 3. Fortegnet hører med til tallet. Hvis der bare står x², er a = 1 — ikke 0.
Saml alle led på én side, før du aflæser tallene. Ligningen 3x² + 6 = 11x skrives som 3x² − 11x + 6 = 0. Derfor er b = −11. Brug ikke b = 11 fra den oprindelige højreside.
Et manglende led har koefficienten 0: I x² − 16 = 0 er b = 0 og c = −16. I 4x² + 12x = 0 er c = 0. Hvis x²-leddet derimod forsvinder helt ved forenkling, er ligningen ikke længere af anden grad. Så skal du bruge metoderne fra førstegradsligninger.
Diskriminanten fortæller, hvor mange reelle løsninger der er
d = b² − 4ac
Diskriminanten er udtrykket under kvadratrodstegnet i løsningsformlen. Den bestemmer antallet af forskellige reelle løsninger, men er ikke selv en løsning x.
| Diskriminant | Løsninger | Parablens forhold til x-aksen |
|---|---|---|
| d > 0 | To forskellige reelle løsninger | Skærer x-aksen to steder |
| d = 0 | Én reel løsning, en dobbeltrod | Rører x-aksen i toppunktet |
| d < 0 | Ingen reelle løsninger | Skærer ikke x-aksen |
Løs en andengradsligning med løsningsformlen
Når d ≥ 0, er de reelle løsninger:
x = (−b + √d)/(2a) eller x = (−b − √d)/(2a)
Hele tælleren skal divideres med hele 2a. Tegnet ± i den korte form betyder, at du udfører beregningen én gang med plus og én gang med minus. Ved d = 0 giver de to beregninger samme tal.
Gennemregnet eksempel: 2x² − 7x + 3 = 0
- Aflæs a = 2, b = −7, c = 3.
- Beregn d = (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25.
- Indsæt: x = (−(−7) ± √25)/(2 · 2) = (7 ± 5)/4.
- Med plus får du x = 12/4 = 3.
- Med minus får du x = 2/4 = 1/2.
Efterprøv begge i den oprindelige ligning: For x = 3 bliver 2 · 9 − 21 + 3 = 0. For x = 1/2 bliver 2 · 1/4 − 7/2 + 3 = 1/2 − 7/2 + 3 = 0. Begge løsninger passer.
Én løsning: x² − 8x + 16 = 0
Her er d = (−8)² − 4 · 1 · 16 = 0. Du får x = 8/2 = 4. Udtrykket kan også skrives (x − 4)², så 4 kaldes en dobbeltrod. Der er stadig kun ét forskelligt løsningstal.
Ingen reelle løsninger: 2x² + 2x + 5 = 0
Her bliver d = 2² − 4 · 2 · 5 = −36. En negativ radikand har ingen reel kvadratrod, så ligningen har ingen reelle løsninger. Det betyder ikke, at d er »forkert«. I komplekse tal findes løsninger, men de behandles ikke i denne guide eller beregner.
Andengradsligningsberegner med mellemregninger
Skriv koefficienterne fra ax² + bx + c = 0. Hvert tal må ligge fra −1.000.000 til 1.000.000 og have højst seks decimaler. Brug decimalkomma eller decimalpunktum, men ingen tusindtalsseparator: skriv 1000 for tusind. Frie udtryk, brøker og e-notation kan ikke indtastes.
Diskriminanten beregnes eksakt ud fra dine indtastninger. Rationelle løsninger vises som eksakte heltal eller forkortede brøker og efterprøves i ligningen. Andre reelle rødder vises med otte decimaler og ≈; rodudtrykket er det eksakte svar. To forskellige rødder kan få samme afrundede decimalværdi. Ved a = 0 skifter beregneren til førstegrads- eller konstanttilfældet.
Faktorisering og nulreglen kan være hurtigere
Kan du skrive venstresiden som et produkt lig med 0, kan du bruge nulreglen: Et produkt er 0, hvis mindst én faktor er 0.
x² + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2) = 0
Derfor er x + 5 = 0 eller x − 2 = 0, altså x = −5 eller x = 2. Du kan kontrollere faktoriseringen ved at gange parenteserne ud: x² − 2x + 5x − 10 = x² + 3x − 10.
Nulreglen kræver, at produktet er lig med 0. Du må ikke sætte hver faktor lig med 0 i (x + 5)(x − 2) = 12. Flyt i stedet 12 over, gang ud og saml ligningen først.
Når c = 0: pas på ikke at miste løsningen x = 0
x² − 6x = 0 kan skrives x(x − 6) = 0. Løsningerne er x = 0 eller x = 6. Hvis du bare dividerer hele ligningen med x, mister du løsningen 0, fordi division med x allerede forudsætter x ≠ 0.
Når b = 0: brug kvadratroden direkte
3x² − 48 = 0 giver x² = 16 og dermed x = ±4. Husk begge fortegn. Selve √16 er 4; det er ligningen x² = 16, der har to løsninger. Se kvadratrod og hovedroden for forskellen.
Hvor kommer løsningsformlen fra?
En kort begrundelse er kvadratkomplettering. Divider først ax² + bx + c = 0 med a, og flyt c/a til højre. Læg derefter (b/(2a))² til på begge sider. Så får du:
(x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²)
Tag kvadratroden med begge fortegn, og isolér x. Da a kan være negativt, er √(4a²) = 2|a|. Mængden af løsninger kan stadig skrives kompakt som x = (−b ± √d)/(2a), fordi ± omfatter begge fortegn. Divisionen kræver hele tiden a ≠ 0.
Graf, nulpunkter og toppunkt er forskellige ting
En andengradsligning ax² + bx + c = 0 svarer til at finde nulpunkterne for funktionen f(x) = ax² + bx + c. Løsningerne er x-koordinater; de tilhørende punkter på grafen er (x₁, 0) og (x₂, 0). Se koordinatsystemer, hvis punktnotationen er ny.
Parablens toppunkt har koordinaterne (−b/(2a), −d/(4a)). Det er normalt ikke et nulpunkt. I eksemplet 2x² − 7x + 3 er toppunktet (7/4, −25/8), altså (1,75; −3,125), mens nulpunkternes x-værdier er 0,5 og 3.
Hvis a > 0, åbner parablen opad og har et minimum. Hvis a < 0, åbner den nedad og har et maksimum. Begge slags parabler kan have nul, én eller to reelle rødder. Det er diskriminanten — ikke fortegnet på a alene — der afgør antallet. Guiden om monotoniforhold forklarer, hvor en funktion vokser og aftager.
Et praktisk eksempel: et rektangels sider
Et rektangel har arealet 40 cm², og længden er 3 cm større end bredden. Kalder du bredden x cm, er længden x + 3 cm. Du får x(x + 3) = 40, altså x² + 3x − 40 = 0.
Faktoriseringen (x + 8)(x − 5) = 0 giver x = −8 eller x = 5. Begge løser ligningen, men en bredde skal være positiv. Derfor er bredden 5 cm og længden 8 cm. Kontrol: 5 · 8 = 40 cm². Opgavens betydning afgør, hvilke matematiske løsninger du kan bruge.
Typiske fejl ved andengradsligninger
- Forkert fortegn på b. I 2x² − 7x + 3 er b = −7. Derfor er −b = 7, og b² = (−7)² = 49.
- Kun √d divideres med 2a. Det er hele −b ± √d, der skal divideres med 2a. Brug parenteser ved indtastning.
- Plus/minus glemmes. Positiv diskriminant kræver to beregninger, ikke kun plus-tilfældet.
- d = 0 læses som x = 0. En dobbeltrod er x = −b/(2a), som godt kan være forskellig fra 0.
- For tidlig afrunding. Behold brøker eller rodudtryk undervejs. En afrundet rod giver ofte kun cirka 0 ved efterprøvning.
Otte opgaver med facit
- Find a, b og c i 4x² = 12x − 5.
- Løs x² − 9x + 20 = 0.
- Løs 2x² − 7x + 3 = 0.
- Hvor mange reelle løsninger har x² + 4x + 8 = 0?
- Løs x² − 10x + 25 = 0.
- Løs 3x² − 12x = 0 uden at miste en løsning.
- Løs 2x² − 5 = 0 eksakt.
- Løs 0x² + 5x − 15 = 0, og forklar ligningens grad.
Vis facit og mellemregninger
- 4x² − 12x + 5 = 0, så a = 4, b = −12, c = 5.
- (x − 4)(x − 5) = 0, så x = 4 eller x = 5.
- d = 25 og x = (7 ± 5)/4, så x = 1/2 eller x = 3.
- d = 16 − 32 = −16: ingen reelle løsninger.
- d = 0, så x = 5, en dobbeltrod.
- 3x(x − 4) = 0 giver x = 0 eller x = 4.
- x² = 5/2, så x = ±√(5/2) = ±√10/2.
- 5x − 15 = 0 giver x = 3. Det er en førstegradsligning, fordi x²-leddet har koefficienten 0.
Fagligt grundlag: OpenStax om løsningsformlen og diskriminanten, nulreglen og faktorisering, kvadratkomplettering og andengradsfunktioner og toppunkt. Tekst, figur, eksempler, opgaver og beregner er udarbejdet til denne guide.